Fracții algebrice

O fracție algebrică este un raport de forma $\frac{A}{B}$, unde $A$ și $B$ sunt expresii algebrice (de obicei polinoame), iar $B$ este nenul. Deoarece împărțirea la zero nu are sens, primul pas la orice fracție algebrică este stabilirea domeniului de definiție: valorile necunoscutei pentru care numitorul se anulează sunt excluse.

Domeniul de definiție. Rezolvăm ecuația $B = 0$ și eliminăm soluțiile obținute. De exemplu, fracția $\frac{x+1}{x-3}$ este definită pentru orice $x \neq 3$, adică $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$. Dacă numitorul este $x^2+3x = x(x+3)$, atunci se exclud $x=0$ și $x=-3$.

Amplificarea și simplificarea. Amplificarea înseamnă înmulțirea numărătorului și a numitorului cu aceeași expresie nenulă: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, cu $C \neq 0$. Ea nu schimbă valoarea fracției și se folosește pentru a aduce fracțiile la același numitor. Simplificarea este operația inversă: $\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$. Atenție: se simplifică numai factori comuni, niciodată termeni dintr-o sumă. Pentru a putea simplifica, numărătorul și numitorul trebuie mai întâi descompuși în factori (factor comun, grupare, formulele $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ și $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$).

Adunarea și scăderea. Se aduc fracțiile la același numitor, apoi se adună/scad numărătorii: $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}$. Dacă numitorii au factori comuni, se caută cel mai mic numitor comun (nu neapărat produsul lor). La scădere, minusul se distribuie la tot numărătorul celei de-a doua fracții.

Înmulțirea și împărțirea. La înmulțire se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$. La împărțire se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$. Este util să descompunem în factori înainte de a înmulți, ca să putem simplifica.

Ridicarea la putere. $\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}$: se ridică la putere separat numărătorul și numitorul.

Strategia completă la o expresie: punem condițiile de existență, descompunem în factori, aducem la numitor comun, efectuăm operațiile, simplificăm rezultatul final.