Descompunerea în factori

A descompune în factori o expresie algebrică înseamnă a o scrie ca un produs de expresii mai simple. Este operația inversă desfacerii parantezelor. Descompunerea este esențială la simplificarea fracțiilor algebrice și la rezolvarea ecuațiilor: dacă un produs este zero, atunci cel puțin unul dintre factori este zero. La Evaluarea Națională se folosesc trei metode, adesea combinate.

1. Factor comun

Dacă toți termenii au un factor comun (număr, literă sau ambele), îl scoatem în fața parantezei: $ab + ac = a(b + c).$ Alegem cel mai mare factor comun posibil. De exemplu: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3);$ $4x^3 + 2x^2 = 2x^2(2x + 1).$ Verificarea se face desfăcând paranteza: trebuie să obținem expresia inițială. Atenție la semne: $-x^2 - x = -x(x + 1)$.

2. Gruparea termenilor

Când nu există factor comun pentru toți termenii (de obicei la expresii cu 4 termeni), grupăm termenii în perechi, dăm factor comun pe fiecare grupă, apoi scoatem noul factor comun: $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).$ Exemplu concret: Condiția ca metoda să funcționeze: după prima etapă, în ambele grupe trebuie să apară paranteză.

3. Formule de calcul prescurtat

Citite de la dreapta la stânga, cele două formule din lecția precedentă devin instrumente de descompunere.

Diferența de pătrate: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ De exemplu: ; .

Pătratul unui binom (trinom pătrat perfect): $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.$ De exemplu: ; .

Strategia generală

Ordinea recomandată: întâi căutăm factor comun; apoi verificăm dacă rămâne o formulă (diferență de pătrate sau trinom pătrat perfect) sau dacă putem grupa. Adesea metodele se combină. De exemplu: $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2)$ — mai întâi factor comun 2, apoi diferență de pătrate. Descompunerea este completă când niciun factor nu mai poate fi descompus.