Formulele de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat permit ridicarea la pătrat a unui binom și înmulțirea sumei cu diferența, fără a mai desfășura de fiecare dată produsul termen cu termen. În programa de Evaluare Națională intră doar două formule.

Pătratul binomului

Pătratul sumei: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$ Pătratul diferenței: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$ Cele două se scriu compact ca $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. În cuvinte: pătratul primului termen, plus (sau minus) dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea. Termenul din mijloc, $2ab$, este cel uitat cel mai des.

De exemplu: $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9;$ $(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25.$ Atenție la $(2x)^2 = 4x^2$: se ridică la pătrat și coeficientul, nu doar litera.

Diferența de pătrate

Produsul sumei cu diferența acelorași doi termeni este egal cu diferența pătratelor: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.$ Termenii din mijloc se reduc: $(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$. De exemplu: $(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16;$ $(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4.$

Citită de la dreapta la stânga, formula ne dă descompunerea unei diferențe de pătrate: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Astfel $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

La ce folosesc

Aceste formule apar constant la Subiectul III: la simplificarea expresiilor, la calcule numerice rapide (de exemplu $101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$), la demonstrarea unor identități și la descompunerea în factori (lecția următoare). Recunoașterea tiparului — „este un pătrat de binom?”, „este o diferență de pătrate?” — economisește timp și reduce erorile.

Observație: cubul sumei/diferenței și sumele/diferențele de cuburi nu fac parte din programă și nu se folosesc la acest examen.