Operații cu numere reale reprezentate prin litere; reducerea termenilor asemenea

În calculul algebric folosim litere ($a$, $b$, $x$, $y$, ...) pentru a reprezenta numere reale. O literă însoțită de un factor numeric formează un monom, iar coeficientul numeric se numește coeficient. De exemplu, în $-5x$ coeficientul este $-5$, iar partea literală este $x$.

Termeni asemenea

Doi termeni se numesc asemenea dacă au aceeași parte literală (aceleași litere ridicate la aceleași puteri). De exemplu, $3x$ și $-7x$ sunt asemenea, la fel $2x^2y$ și $\frac{1}{2}x^2y$. În schimb, $3x$ și $3x^2$ nu sunt asemenea, pentru că exponenții lui $x$ diferă.

Reducerea termenilor asemenea înseamnă adunarea lor într-un singur termen, prin adunarea coeficienților și păstrarea părții literale: $3x + 5x - 2x = (3+5-2)x = 6x.$ Atenție: se adună doar coeficienții, partea literală rămâne neschimbată. Nu putem reduce termeni care nu sunt asemenea: $3x + 2y$ rămâne $3x + 2y$.

Operații de bază

Adunarea și scăderea expresiilor înseamnă reducerea termenilor asemenea, după eliminarea parantezelor. La eliminarea unei paranteze precedate de semnul minus, toate semnele din interior se schimbă: $5x - (2x - 3) = 5x - 2x + 3 = 3x + 3.$

Înmulțirea unui monom cu o sumă se face cu proprietatea de distributivitate: $a(b + c) = ab + ac.$ De exemplu, $2x(3x - 4) = 6x^2 - 8x$. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună: $x^2 \cdot x^3 = x^5$; iar $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Înmulțirea a două paranteze (sumă cu sumă) se face înmulțind fiecare termen din prima cu fiecare termen din a doua: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$ De exemplu, $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.

Puteri și semne

La ridicarea la putere a unui produs, $(ab)^n = a^n b^n$, iar $(x^m)^n = x^{mn}$. Semnele urmează regula: produsul a două numere de același semn este pozitiv, iar de semne diferite este negativ. De exemplu, $(-2x)^2 = 4x^2$ (pozitiv), dar $-2x \cdot 3x = -6x^2$.

Ordinea operațiilor se păstrează ca la numere: mai întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile; parantezele au prioritate.