Fracții zecimale; transformări; periodicitate; fracția periodică → ordinară

Orice fracție ordinară se poate scrie sub formă de fracție zecimală, efectuând împărțirea numărătorului la numitor. După rezultatul acestei împărțiri, deosebim: fracții zecimale finite (împărțirea se termină, cu rest 0 după un număr finit de pași) și fracții zecimale periodice (infinite — o secvență de cifre, numită perioadă, se repetă la infinit).

O fracție ireductibilă $\frac{a}{b}$ se transformă într-o fracție zecimală finită dacă și numai dacă numitorul $b$ are ca singuri factori primi pe $2$ și/sau $5$ (de exemplu $\frac{7}{40}$, unde $40=2^3\cdot 5$, dă $0{,}175$). Dacă numitorul are și alt factor prim (de exemplu $3, 7, 11,...$), fracția dă o zecimală periodică (de exemplu $\frac{5}{6}$, unde $6=2\cdot 3$, dă $0{,}8(3)$).

O fracție zecimală periodică este simplă dacă perioada începe imediat după virgulă (ex: $0{,}(3)$) și mixtă dacă există una sau mai multe cifre neperiodice între virgulă și începutul perioadei (ex: $0{,}58(3)$, unde "58" sunt cifrele neperiodice, iar "3" este perioada).

Transformarea fracției zecimale periodice în fracție ordinară:

• Periodică simplă: $0{,}(ab)=\dfrac{ab}{99}$ (numărul format din cifrele perioadei, împărțit la un număr format din atâtea cifre de $9$ câte cifre are perioada). De exemplu $0{,}(27)=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$.
• Periodică mixtă: $0{,}a(b)=\dfrac{ab-a}{90}$ (numărul format din toate cifrele de după virgulă până la sfârșitul primei perioade, minus numărul format din cifrele neperiodice, împărțit la atâtea cifre de $9$ câte are perioada, urmate de atâtea cifre de $0$ câte cifre neperiodice sunt). De exemplu $0{,}1(6)=\dfrac{16-1}{90}=\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}$. Aceeași regulă se extinde la perioade și părți neperiodice cu mai multe cifre (ex: numitorul devine $990$ pentru o perioadă de $2$ cifre și o cifră neperiodică).

La un număr cu parte întreagă nenulă, se transformă separat partea zecimală, apoi se adaugă partea întreagă: $2{,}1(45)=2+\dfrac{145-1}{990}=2+\dfrac{144}{990}=2+\dfrac{8}{55}=\dfrac{118}{55}$.

Aceste transformări arată că orice fracție zecimală finită sau periodică reprezintă un număr rațional (se poate scrie ca fracție ordinară $\frac{a}{b}$, cu $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{N}^*$), spre deosebire de fracțiile zecimale infinite neperiodice, care reprezintă numere iraționale.