Secțiuni paralele cu baza; trunchiul de piramidă și trunchiul de con

Secțiuni paralele cu baza

Fie o piramidă cu vârful $V$ și înălțimea $VO = H$ (unde $O$ este centrul bazei). Un plan paralel cu baza taie piramida după un poligon și separă un corp mai mic (o piramidă asemenea) de restul corpului. Proprietatea fundamentală: secțiunea este un poligon asemenea cu baza, cu același centru pe axa piramidei.

Dacă notăm cu $h$ distanța de la vârful $V$ la planul secțiunii, atunci raportul de asemănare este $k = \frac{h}{H} = \frac{\text{latura secțiunii}}{\text{latura bazei}} = \frac{\text{apotema secțiunii}}{\text{apotema bazei}}.$ Toate lungimile corespunzătoare (laturi, apoteme, raze, perimetre) se înmulțesc cu $k$. Deoarece la figuri asemenea raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare, avem $\frac{A_{\text{secțiune}}}{A_{\text{bază}}} = k^2.$ De exemplu, un plan dus la jumătatea înălțimii ($k = \tfrac{1}{2}$) dă o secțiune cu aria egală cu un sfert din aria bazei, nu jumătate — greșeala clasică.

La con lucrurile sunt identice: o secțiune paralelă cu baza este un cerc de rază $r = k\cdot R$, unde $R$ este raza bazei și $k = \frac{h}{H}$.

Trunchiul de piramidă regulată

Dacă din piramida regulată păstrăm partea cuprinsă între bază și planul de secțiune (aruncând piramida mică de la vârf), obținem un trunchi de piramidă regulată. Elementele sale:

• două baze paralele, poligoane regulate asemenea: baza mare (aria $A_B$, apotema $a_B$) și baza mică (aria $A_b$, apotema $a_b$);
• fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente (câte unul pentru fiecare latură a bazei);
• înălțimea trunchiului $h$ = distanța dintre planele celor două baze (segmentul $OO'$ care unește centrele);
• apotema trunchiului $a_t$ = înălțimea unei fețe laterale (segmentul care unește mijloacele celor două laturi paralele ale unui trapez); ea satisface $a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2;$
• muchia laterală $m$ (latura neparalelă a trapezului): $m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2$, unde $R_B$, $R_b$ sunt razele cercurilor circumscrise bazelor.

Relațiile pentru apotemă și muchie provin din triunghiuri dreptunghice: proiectând baza mică pe baza mare, catetele orizontale sunt diferențele de apoteme, respectiv de raze, iar cateta verticală este $h$.

Trunchiul de con circular drept

Secționând un con circular drept cu un plan paralel cu baza și păstrând partea de jos, obținem un trunchi de con circular drept. Elementele lui:

• două baze — două cercuri paralele, de raze $R$ (baza mare) și $r$ (baza mică), cu centrele pe axă;
• generatoarea $G$ = segmentul de pe suprafața laterală care unește cele două cercuri;
• înălțimea $h$ = distanța dintre planele bazelor;
• generatoarea satisface $G^2 = h^2 + (R - r)^2,$ din triunghiul dreptunghic format de generatoare, înălțime și diferența razelor.

Secțiunea axială (planul care trece prin axă) a trunchiului de con este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$, laturile neparalele egale cu $G$ și înălțimea $h$.

Pentru arii și volume complete ale trunchiurilor vezi lecțiile dedicate; aici reținem doar relațiile de bază $A_l^{\text{trunchi pir.}} = \frac{(P_B + P_b)\cdot a_t}{2}$ și $A_l^{\text{trunchi con}} = \pi G (R + r)$.