Drepte paralele; unghiul a două drepte; dreaptă paralelă cu planul; plane paralele

În spațiu, două drepte pot fi coplanare (există un plan care le conține pe amândouă) sau necoplanare. Dacă sunt coplanare, ele sunt fie concurente (au un punct comun), fie paralele (nu au niciun punct comun și sunt în același plan). Dreptele necoplanare nu au niciun punct comun, dar nu sunt paralele, fiindcă nu se află într-un plan comun. Atenție: în spațiu, „nu se intersectează” nu înseamnă „paralele”. De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$, muchiile $AB$ și $CC'$ nu se întâlnesc și nu sunt paralele — sunt necoplanare.

Drepte paralele. Tranzitivitate

Două drepte sunt paralele ($d_1 \parallel d_2$) dacă sunt coplanare și nu au puncte comune. Paralelismul este tranzitiv: dacă $d_1 \parallel d_2$ și $d_2 \parallel d_3$, atunci $d_1 \parallel d_3$. De aici, într-un cub, $AB \parallel DC \parallel A'B' \parallel D'C'$.

Unghiul a două drepte

Unghiul a două drepte concurente este unghiul (ascuțit sau drept) format de ele. Pentru două drepte necoplanare $a$ și $b$, unghiul dintre ele se definește prin translatare: printr-un punct oarecare $P$ ducem $a' \parallel a$ și $b' \parallel b$; unghiul dintre $a'$ și $b'$ (care sunt acum concurente) este, prin definiție, unghiul dintre $a$ și $b$. Practic, este suficient să înlocuim una dintre drepte cu o paralelă la ea care întâlnește cealaltă dreaptă. Unghiul a două drepte se ia întotdeauna în intervalul $[0^\circ, 90^\circ]$; drepte paralele formează unghi de $0^\circ$, iar drepte perpendiculare (chiar necoplanare) formează $90^\circ$. De exemplu, unghiul dintre $AB$ și $B'C'$ în cub este $90^\circ$, deoarece $B'C' \parallel BC$ și $AB \perp BC$.

Dreaptă paralelă cu un plan

O dreaptă $d$ care nu este conținută în planul $\alpha$ este paralelă cu planul ($d \parallel \alpha$) dacă nu are niciun punct comun cu el. Criteriu de paralelism dreaptă–plan: dacă dreapta $d$ (necuprinsă în $\alpha$) este paralelă cu o dreaptă $g \subset \alpha$, atunci $d \parallel \alpha$. Astfel, $A'B' \parallel (ABCD)$, pentru că $A'B' \parallel AB$ și $AB \subset (ABCD)$. O dreaptă conținută într-un plan nu se consideră paralelă cu planul.

Plane paralele

Două plane sunt paralele ($\alpha \parallel \beta$) dacă nu au niciun punct comun. Criteriu: dacă două drepte concurente ale unui plan sunt paralele cu celălalt plan (sau cu două drepte ale lui), atunci planele sunt paralele. În cub, $(ABCD) \parallel (A'B'C'D')$. Paralelismul planelor este tot tranzitiv.

Două proprietăți importante:

• Plane paralele tăiate de un al treilea plan: dacă $\alpha \parallel \beta$ și un plan $\gamma$ le taie după dreptele $a$, respectiv $b$, atunci $a \parallel b$.
• Secțiuni paralele cu baza: un plan paralel cu baza unui corp (cub, prismă, piramidă) determină o secțiune asemenea (la prismă/cub, congruentă) cu baza.

Reține și lungimile utile în cub cu muchia $l$: diagonala unei fețe este $l\sqrt{2}$, iar diagonala cubului este $l\sqrt{3}$.