Lungimea cercului (2πR) și aria discului (πR²); aplicații

Cercul este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix $O$ (centrul), la distanța $R$ (raza). Discul este suprafața mărginită de cerc (cercul împreună cu interiorul său). Este esențial să distingi cele două mărimi: lungimea cercului este o lungime (o linie), iar aria discului este o arie (o suprafață).

Numărul $\pi$. Raportul dintre lungimea oricărui cerc și diametrul său este mereu același număr irațional, notat $\pi \approx 3{,}14$. De aici provin formulele de bază.

Lungimea cercului. Dacă cercul are raza $R$ (și diametrul $d = 2R$), lungimea lui este $L = 2\pi R = \pi d.$ Ea se măsoară în unități de lungime (cm, m). De exemplu, un cerc de rază $5$ cm are lungimea $L = 2\pi\cdot 5 = 10\pi$ cm $\approx 31{,}4$ cm.

Aria discului. Aria suprafeței mărginite de cerc este $\mathcal{A} = \pi R^2.$ Ea se măsoară în unități de arie (cm², m²). Atenție: în formula ariei se folosește raza, nu diametrul. Dacă cunoști diametrul, întâi afli raza ($R = \frac{d}{2}$) și abia apoi calculezi. Scrierea $\mathcal{A} = \pi d^2$ este greșită; corect ar fi $\mathcal{A} = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Arcul de cerc. Un arc corespunzător unui unghi la centru de $n^\circ$ este o fracție din întregul cerc: din $360^\circ$ îi revine fracția $\frac{n}{360}$. Lungimea arcului este deci $\ell_{arc} = 2\pi R\cdot\frac{n}{360}.$

Sectorul de cerc. Sectorul de $n^\circ$ (felia de disc) are aria proporțională cu același raport: $\mathcal{A}_{sector} = \pi R^2\cdot\frac{n}{360}.$ Pentru un semicerc ($n = 180^\circ$) sectorul este jumătate de disc, iar pentru un sfert de cerc ($n = 90^\circ$) este un sfert de disc.

Coroana circulară. Regiunea dintre două cercuri concentrice, de raze $R$ (exterior) și $r$ (interior), are aria egală cu diferența ariilor celor două discuri: $\mathcal{A}_{coroană} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2).$

Segmentul circular. Regiunea cuprinsă între o coardă și arcul pe care îl subîntinde se obține (în cazurile simple) scăzând din aria sectorului aria triunghiului format de cele două raze și coardă: $\mathcal{A}_{segment} = \mathcal{A}_{sector} - \mathcal{A}_{triunghi}.$

Aplicații tipice. În examen apar: calculul lungimii unei roți sau piste; aflarea razei/diametrului când se cunoaște lungimea sau aria; compararea lungimii cu aria (mărimi de naturi diferite, nu se pot egala numeric decât întâmplător); probleme cu sectoare (felii de pizza, cadrane de ceas), cu coroane (inele, țevi văzute în secțiune) și combinații între disc și poligoane înscrise. Recomandare: lasă rezultatul cu $\pi$ (formă exactă) și, dacă se cere aproximarea, folosește $\pi\approx 3{,}14$ doar la final. Verifică mereu unitatea de măsură: lungimile în cm, ariile în cm².