Șirul de rapoarte egale. Mărimi proporționale. Regula de trei simplă

Șirul de rapoarte egale

Când avem mai mult de două rapoarte egale, $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=k$, spunem că formează un șir de rapoarte egale. Proprietatea de bază este:

$\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}$

adică suma numărătorilor împărțită la suma numitorilor dă tot valoarea comună $k$. Această proprietate se folosește foarte des pentru a împărți un număr în părți proporționale cu niște numere date: dacă trebuie împărțit $S$ în părți direct proporționale cu $p_1,p_2,\ldots,p_n$, notăm fiecare parte și, cum , rezultă .

Mărimi direct proporționale

Două mărimi variabile $x$ și $y$ sunt direct proporționale dacă raportul valorilor corespunzătoare este constant: $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=k$ (echivalent, ). Practic, dacă crește de un anumit număr de ori, crește de același număr de ori (și la fel la scădere). Exemple: cantitatea de marfă și prețul plătit (la preț unitar fix); distanța parcursă și timpul, la viteză constantă.

Mărimi invers proporționale

Două mărimi $x$ și $y$ sunt invers proporționale dacă produsul valorilor corespunzătoare este constant: $x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2=k$. Dacă crește de un anumit număr de ori, scade de același număr de ori. Exemple: numărul de muncitori și numărul de zile necesare pentru a termina o lucrare (la ritm constant de lucru); viteza și timpul necesar pentru a parcurge o distanță fixă.

Regula de trei simplă

Este metoda practică de rezolvare a problemelor cu două mărimi proporționale, atunci când se cunosc trei valori și trebuie aflată a patra.

• Pentru mărimi direct proporționale: se scrie proporția $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$ și se află necunoscuta cu proprietatea fundamentală.

Pasul esențial, înainte de a scrie orice proporție, este să stabilim corect tipul de proporționalitate: ne întrebăm dacă, atunci când o mărime crește, cealaltă crește (direct) sau scade (invers), în contextul concret al problemei.