Rapoarte și proporții

Rapoarte

Raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\neq 0$) este câtul $a:b=\dfrac{a}{b}$. Numărul $a$ se numește antecedent, iar $b$ se numește consecvent. Un raport se poate simplifica la fel ca o fracție, împărțind ambii termeni prin cel mai mare divizor comun al lor.

Când raportul se formează din două mărimi (lungimi, mase, prețuri etc.), termenii trebuie exprimați în aceeași unitate de măsură înainte de a scrie raportul; altfel raportul nu are sens.

Proporții

O proporție este o egalitate a două rapoarte: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, cu $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, $b,d\neq0$. Se citește „$a$ este la $b$ precum $c$ este la $d$” și se notează și $a:b=c:d$. Numerele $a$ și $d$ se numesc extremi, iar $b$ și $c$ se numesc mezi.

Proprietatea fundamentală a proporțiilor

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Longleftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c$

adică produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Această proprietate este cheia pentru aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție și pentru a verifica dacă patru numere date, luate în această ordine, formează sau nu o proporție.

Aflarea termenului necunoscut

Dacă unul dintre cei patru termeni este necunoscut, el se izolează folosind proprietatea fundamentală. De exemplu, din $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}$ rezultă $a\cdot x=b\cdot c$, deci $x=\dfrac{b\cdot c}{a}$. În mod analog se obțin formulele pentru celelalte trei poziții posibile ale necunoscutei.

Proporții derivate

Dintr-o proporție dată $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ se pot obține alte proporții adevărate, foarte utile în probleme, fără a mai calcula valorile efective:

• inversarea: $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$;
• schimbarea mezilor: $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$;
• schimbarea extremilor: $\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$;
• cu sumă: $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$;
• cu diferență: $\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$ (dacă $a\neq b$, respectiv $c\neq d$);
• combinată: $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$ (dacă $a\neq b$).

Aceste transformări nu schimbă valoarea comună a rapoartelor, ci doar rescriu proporția într-o formă echivalentă, adesea mult mai ușor de folosit atunci când problema dă suma sau diferența celor doi termeni ai unui raport.