Mulțimi: descriere, relații, operații (reuniune, intersecție, diferență, cardinal)

O mulțime este o colecție bine definită de obiecte, numite elementele mulțimii. O mulțime poate fi descrisă în două moduri: prin enumerarea elementelor (de exemplu $A = \{1, 2, 3, 4\}$) sau printr-o proprietate caracteristică pe care o au toate elementele sale (de exemplu $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$, adică „mulțimea numerelor naturale mai mici decât 5”).

Faptul că un obiect $x$ este element al unei mulțimi $A$ se notează $x \in A$ („$x$ aparține lui $A$”); dacă $x$ nu este element al lui , se notează . Mulțimea care nu are niciun element se numește și se notează .

Dintre mulțimile numerice cunoscute se rețin: mulțimea numerelor naturale $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$, mulțimea numerelor întregi $\mathbb{Z}$, mulțimea numerelor raționale $\mathbb{Q}$ și mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$, cu incluziunile . Există și mulțimi nenumerice, ale căror elemente nu sunt numere, de exemplu mulțimea literelor cuvântului „matematică” sau mulțimea zilelor săptămânii.

Relații între mulțimi. Spunem că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ (sau $A$ este submulțime a lui $B$), notat $A \subseteq B$, dacă orice element al lui $A$ este și element al lui . Dacă, în plus, are cel puțin un element care nu aparține lui , incluziunea este și se notează . Două mulțimi sunt , , dacă au exact aceleași elemente, adică și . Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: , pentru orice mulțime .

Mulțimi finite și infinite. O mulțime este finită dacă are un număr finit de elemente distincte; numărul elementelor sale se numește cardinalul mulțimii și se notează $|A|$. De exemplu, dacă $A = \{2,4,6,8\}$, atunci $|A| = 4$. O mulțime care nu este finită se numește ; mulțimile , , , sunt infinite.

Operații cu mulțimi. Fiind date mulțimile $A$ și $B$:

• Reuniunea: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\}$ — elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi.
• Intersecția: $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ și }x$ — elementele comune. Dacă , mulțimile se numesc .

De exemplu, pentru $A = \{1,2,3,4,5\}$ și $B = \{3,4,5,6,7\}$: (cardinal 7), (cardinal 3), , iar . Se observă și proprietatea utilă , valabilă pentru orice mulțimi finite , .