Mulțimi: descriere, relații, operații (reuniune, intersecție, diferență, cardinal)

O mulțime este o colecție bine definită de obiecte, numite elementele mulțimii. O mulțime poate fi descrisă în două moduri: prin enumerarea elementelor (de exemplu $A = \{1, 2, 3, 4\}$) sau printr-o proprietate caracteristică pe care o au toate elementele sale (de exemplu $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$, adică „mulțimea numerelor naturale mai mici decât 5”).

Faptul că un obiect $x$ este element al unei mulțimi $A$ se notează $x \in A$ („$x$ aparține lui $A$”); dacă $x$ nu este element al lui $A$, se notează $x \notin A$. Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțime vidă și se notează $\emptyset$.

Dintre mulțimile numerice cunoscute se rețin: mulțimea numerelor naturale $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$, mulțimea numerelor întregi $\mathbb{Z}$, mulțimea numerelor raționale $\mathbb{Q}$ și mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$, cu incluziunile $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Există și mulțimi nenumerice, ale căror elemente nu sunt numere, de exemplu mulțimea literelor cuvântului „matematică” sau mulțimea zilelor săptămânii.

Relații între mulțimi. Spunem că mulțimea $A$ este inclusă în mulțimea $B$ (sau $A$ este submulțime a lui $B$), notat $A \subseteq B$, dacă orice element al lui $A$ este și element al lui $B$. Dacă, în plus, $B$ are cel puțin un element care nu aparține lui $A$, incluziunea este strictă și se notează $A \subset B$. Două mulțimi sunt egale, $A = B$, dacă au exact aceleași elemente, adică $A \subseteq B$ și $B \subseteq A$. Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi: $\emptyset \subseteq A$, pentru orice mulțime $A$.

Mulțimi finite și infinite. O mulțime este finită dacă are un număr finit de elemente distincte; numărul elementelor sale se numește cardinalul mulțimii și se notează $|A|$. De exemplu, dacă $A = \{2,4,6,8\}$, atunci $|A| = 4$. O mulțime care nu este finită se numește infinită; mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ sunt infinite.

Operații cu mulțimi. Fiind date mulțimile $A$ și $B$:

• Reuniunea: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\}$ — elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi.
• Intersecția: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \in B\}$ — elementele comune. Dacă $A \cap B = \emptyset$, mulțimile se numesc disjuncte.
• Diferența: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \notin B\}$ — elementele lui $A$ care nu aparțin lui $B$ (nu este comutativă: în general $A \setminus B \neq B \setminus A$).

De exemplu, pentru $A = \{1,2,3,4,5\}$ și $B = \{3,4,5,6,7\}$: $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ (cardinal 7), $A \cap B = \{3,4,5\}$ (cardinal 3), $A \setminus B = \{1,2\}$, iar $B \setminus A = \{6,7\}$. Se observă și proprietatea utilă $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, valabilă pentru orice mulțimi finite $A$, $B$.